Bases de Gröbner: Aplicaciones a la codificación algebraica by Edgar - Manuera Gómez, Carlos - Ruano Benito, Diego

By Edgar - Manuera Gómez, Carlos - Ruano Benito, Diego Martínez Moro

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17) Este m´etodo de descodificaci´on es conocido como de captura del error. 6. E. Munuera, D. 39. Una r´afaga es un vector x ∈ Fnq tal que todas sus coordenadas no nulas son consecutivas. Se llama longitud de la r´ afaga a w(x). Los c´odigos c´ıclicos son particularmente eficientes en la detecci´on de los errores a r´afagas. 40. Un c´ odigo c´ıclico C de par´ ametros [n, k] no contiene ninguna r´ afaga de longitud l ≤ n−k, luego detecta cualquier error r´ afaga de longitud l ≤ n − k. Demostraci´ on.

Si C es un c´ odigo lineal, entonces su dual C ⊥ es el ortogonal de C con respecto a la forma bilineal n ui vi ∈ Fq . 2) 32 E. Munuera, D. Ruano Demostraci´ on. Sean G y H matrices generatriz y de control de C. El resultado es consecuencia de la igualdad GH t = 0, ya que rango(G) + rango(H) = n. Como la forma bilineal , es sim´etrica y no degenerada, se verifica que (C ⊥ )⊥ = C, es decir, el dual del dual de un c´odigo es el propio c´odigo. Obs´ervese que puede darse la situaci´on C ∩ C ⊥ = {0}.

Si un c´odigo lineal de par´ametros [n, k] puede detectar r´afagas de longitud l, es f´acil probar que l ≤ n−k. Por tanto, la capacidad de detecci´on de errores a r´afagas es ´optima en los c´odigos c´ıclicos. La descodificaci´on de las r´afagas puede hacerse mediante la captura de errores, ya que se verifica el siguiente resultado. 41. Sea C un c´ odigo c´ıclico de par´ ametros [n, k]. Si los errores de un vector recibido y constituyen una r´ afaga de longitud a lo m´ as n − k, entonces existe j tal que e(j) (X) = s[y(j) ](X).

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